A reaktorfizika alapjai: neutronok, magok és hatáskeresztmetszetek

Boglárka Molnár

Szervusztok! Ez az epizód nem áttekintés lesz, hanem egy sűrű, kurzus jellegű előadás a reaktorfizikáról. Okajima, Kugo és Mori Nuclear Reactor Physics című, 2024 es Springer könyvének fejezeteit vesszük sorra. Minden fejezetnél először elmondjuk, miről szól intuitíven, aztán belemegyünk a törvényekbe és a képletekbe, számokkal. A cél az, hogy a végére pontos képed legyen arról, miért működik egy reaktor és mit számol róla a fizikus.

András Szabó

Előre szólok, hogy rám egyszerű hasonlatokat bíztak, mert nekem mindig az segít. A reaktorfizikának a könyv szerint két párhuzamos szemlélete van. Az egyik az, amikor egyetlen neutron életét követjük a születésétől a haláláig, mintha egy ember életrajzát írnánk. Ezt hívják Lagrange féle szemléletnek. A másik az, amikor egy forgalmas kereszteződésnél csak azt számoljuk, hány autó jön, megy és áll meg. Ez az Euler féle szemlélet, ebből lesz a diffúziós elmélet. Mindkettőre szükségünk lesz.

Boglárka Molnár

A történet kezdőpontja 1942. december 2., amikor Enrico Fermi és munkatársai Chicagóban, a Chicago Pile One kísérletben bemutatták az önfenntartó hasadási láncreakciót. A könyv előszava szerint a reaktorfizikát lényegében Fermi alapozta meg ezelőtt. A tudományág feladata kettős: leírni, mikor marad egyensúlyban a láncreakció, és megmondani, hol mekkora a neutronok eloszlása, mert abból következik a hőtermelés eloszlása. Ezért a tárgy félig fizika, félig mérnöki tudomány. Az első fejezet, a neutronok és az atommagok kölcsönhatása, mindennek az alapja.

András Szabó

Kezdjük a méretekkel, mert ezek elképesztők. Az atom mérete körülbelül 10 a mínusz nyolcadikon centiméter, egy angström. Az atommag 10 a mínusz tizenkettediken centiméter, tehát tízezerszer kisebb. Ha az atom egy stadion, a mag egy borsószem a középpontban. A mag Z protonból és N neutronból áll, A egyenlő Z plusz N a tömegszám. Az azonos protonszámú, de eltérő neutronszámú magok az izotópok, kémiailag ugyanúgy viselkednek, mert a kémiát az elektronok száma dönti el, a magjellemzőik viszont mások.

Boglárka Molnár

A proton tömege 1,007277 atomi tömegegység, a neutroné 1,008665, vagyis a neutron picit nehezebb. Az atomi tömegegység a semleges szén tizenkettes tömegének tizenketted része, és az E egyenlő m c négyzet alapján 931,478 megaelektronvoltnak felel meg. A szabad neutron instabil: átlagosan nagyjából 12 perc alatt béta bomlással protonná, elektronná és antineutrínóvá alakul, a felezési ideje körülbelül 10,2 perc. Magba kötve viszont stabil. A reaktorban ezért a neutron élete másodpercekben, ezredmásodpercekben mérhető, a szabad neutron bomlása szinte sosem számít.

András Szabó

Jön az első nagy ötlet: a tömegdefektus. Ha összemérjük egy mag tömegét az alkotóelemei tömegének összegével, a mag könnyebb. Delta egyenlő Z szer proton tömege plusz N szer neutron tömege mínusz a mag tömege. Ez a hiányzó tömeg energiává váltva éppen az az energia, amivel a magot szét lehetne szedni. Olyan, mint egy kötött csomag, ami kevesebbet nyom, mint a szétszedett alkatrészek, mert a kötés szabadította fel a különbséget. Egy nukleonra jutó kötési energia, f egyenlő delta per A, a legtöbb magnál 8 és 8,8 megaelektronvolt között van.

Boglárka Molnár

Ez átlagosan nagyjából 0,85 százalékos tömegdefektust jelent. A görbe maximuma az A körülbelül 60 körüli vas és nikkel tartományban van, ott a legstabilabbak a magok. A könnyű magoknál, A kisebb mint 20, és a nehéz magoknál, A nagyobb mint 190, a fajlagos kötési energia kisebb az átlagnál. Ebből adódik a nukleáris energetika két iránya: ha két könnyű magot egyesítünk, a fúzió, vagy egy nehéz magot kettéhasítunk, a fisszió, mindkétszer stabilabb konfiguráció jön létre, tehát energia szabadul fel. A reaktorok a nehéz oldalt használják.

András Szabó

Van egy érdekes mérnöki mellékszál is: a mágikus számok. Ha egy mag 2, 6, 8, 14, 20, 28, 50, 82 vagy 126 protont vagy neutront tartalmaz, a héjak lezáródnak, és a mag kivételesen stabil. A következmény gyakorlati: az ilyen magok alig nyelik el a neutronokat. A természetes cirkónium leggyakoribb izotópja 50 neutront tartalmaz, ezért lett belőle a reaktorok legfontosabb szerkezeti és burkolati anyaga. Az anyag, amelyik fizikailag szinte átlátszó a neutronoknak, és így nem mérgezi a láncreakciót.

Boglárka Molnár

Maradjunk a magnál: az energiaszintek. A mag gerjesztett állapotai diszkrétek, de sűrűségük a gerjesztési energiával és a tömegszámmal gyorsan nő. A szint élettartama és energiabizonytalansága, a szintszélesség Gamma, összefügg: Gamma egyenlő h vonás szer lambda, azaz h vonás per tau. Nagy szélesség rövid élettartamot jelent, keskeny szint hosszú életű állapotot. A teljes szélesség a parciális szélességek összege: Gamma egyenlő Gamma gamma plusz Gamma n plusz Gamma f és így tovább, vagyis ahány módon a szint le tud bomlani, annyi tagja van. Ezt a fogalmat mindjárt használni fogjuk a rezonanciáknál.

András Szabó

Most a kölcsönhatások. Minden magreakcióban megmarad a nukleonszám, a töltés, a lendület és perdület, és a teljes energia, a tömegenergiával együtt. A Q érték a reakció előtti és utáni nyugalmi tömegek különbsége szorozva c négyzettel. Ha Q pozitív, exoterm a reakció, mozgási energia szabadul fel. Ha negatív, endoterm, és csak egy küszöbenergia felett mehet végbe, amelyet a laboratóriumi rendszerben E küszöb egyenlő mínusz A plusz egy per A szer Q ad meg. Azaz a küszöb mindig nagyobb, mint a puszta Q abszolút értéke, mert a lendületmegmaradás miatt a mozgási energia egy része nem használható fel.

Boglárka Molnár

A neutron és a mag között háromféle mechanizmus játszódhat le. Az első az összetett mag képződése, Bohr elképzelése szerint: a neutron beleolvad a magba, létrejön az A plusz egy tömegszámú gerjesztett mag, és a gerjesztési energia sok nukleon között oszlik meg. Ez addig él, amíg valamelyik nukleon vagy egy gamma kvantum el nem viszi a feleslegét. Ha a beeső energia éppen egy kvantumállapotnak felel meg, éles csúcs, rezonancia keletkezik. A második a potenciálszórás, más néven alakrugalmas szórás, amikor a neutron úgy pattan le a magról, mint egy biliárdgolyó, összetett mag nélkül. Ez minden energián jelen van, sima hátteret ad. A harmadik a direkt kölcsönhatás, ami csak nagy energián, a mag felszínén játszódik le, és a reaktorfizikában elhanyagolható.

András Szabó

A tömegközépponti rendszer egy trükk, ami egyszerűvé teszi az ütközést. Ha a célmag a laboratóriumban áll, a tömegközéppont sebessége v nulla, ami nagyjából a neutron sebessége osztva egy plusz A. Ebben a rendszerben a két részecske teljes lendülete pontosan nulla. A relatív mozgás energiája a redukált tömeggel számolható, E C egyenlő A per A plusz egy szer E L. Vagyis nehéz magnál a neutron mozgási energiájának szinte egésze a reakció rendelkezésére áll, könnyű magnál kevesebb. Ezt a törvényt a moderációnál, a lassulásnál fogjuk visszahozni.

Boglárka Molnár

Most a hatáskeresztmetszet, ami a könyv talán legfontosabb mennyisége. Nézzünk egy vékony céltárgyat, amelyben N mag van köbcentiméterenként. A geometriai keresztmetszet pi szer R a plusz R A négyzet lenne, de a valóságban az effektív, mikroszkopikus hatáskeresztmetszetet használjuk: szigma egyenlő a reakciósűrűség osztva N szer I. Egysége a barn, 10 a mínusz huszonnegyediken négyzetcentiméter, ami a mag sugarának négyzetéhez hasonló nagyságrend. Az összes keresztmetszet a részek összege: szigma t egyenlő szigma rugalmas plusz szigma rugalmatlan plusz szigma befogás plusz szigma hasadás és így tovább.

András Szabó

Ide kell az érme analógia. A geometriai keresztmetszet egy fémpénz felülete a céltáblán. Az effektív keresztmetszet olyan, mintha az érme mágneses lenne: ha egy vasgolyó repül felé, a mágneses tér messziről magához rántja, így a tényleges befogási felület az érme méretének ezerszerese is lehet. Rezonanciánál pedig az érme pontosan a neutron frekvenciájára hangolt szupravezető mágnessé válik. Ez azért jó kép, mert megmutatja, hogy a keresztmetszet nem a mag testének mérete, hanem annak mérőszáma, hogy a mag milyen valószínűséggel reagál.

Boglárka Molnár

A makroszkopikus keresztmetszet Szigma egyenlő N szer szigma, ahol N az atomsűrűség, ró per M szer Avogadro szám. Mértékegysége egy per centiméter, és az a jelentése, hogy egységnyi úthosszon mekkora valószínűséggel lép kölcsönhatásba a neutron. Ebből következik, hogy egy nyalábban a ki nem lépő neutronok intenzitása exponenciálisan csökken: I x egyenlő I nulla szer e a mínusz Szigma t szer x hatványon. Az átlagos szabad úthossz lambda egyenlő egy per Szigma t. Ha a Szigma t például fél per centiméter, akkor két centiméter az átlagos út két ütközés között.

András Szabó

A neutronfluxusról sokan félreértik, mit jelent, ezért a méhes szoba hasonlatot szeretem. Egy szobában méhek repkednek össze vissza minden irányba. A fluxus nem a méhek száma, és nem is az, hányan lépnek át az ajtón egy irányban, az az áram. A fluxus az összes méh által egyetlen másodperc alatt lerepült kilométerek összege. Képlettel phi egyenlő n szer v, a térfogategységben lévő neutronok száma szorozva a sebességgel. Minél sűrűbb és gyorsabb a raj, annál több útvonalat tesz meg, és annál nagyobb eséllyel ütközik egy tereptárgynak. Innen a reakciósűrűség: R egyenlő Szigma szer phi, ahol a Szigma lehet hasadási vagy befogási keresztmetszet.

Boglárka Molnár

Most a rezonanciák képlete, a Breit és Wigner formula: szigma AB E egyenlő pi szer a de Broglie hullámhossz per két pi négyzete, szer Gamma A szer Gamma B osztva E mínusz E r négyzet plusz Gamma per kettő négyzet. A nevező miatt a görbe E r körül csúcsot ad, és a félmagasságban mért szélessége éppen a Gamma. A könyv példái: az arany 4,9 elektronvoltos rezonanciája kb. 3000 barn, az indium egy 1,45 elektronvoltos (n, gamma) csúcsa 28 000 barn. A csúcsok közti sima háttér a potenciálszórás.

András Szabó

Érdekes, hogy a szélesség elárulja, szórási vagy befogási rezonanciáról van szó. A szint élettartama fordítva arányos a teljes szélességgel. Az urán 238 első, 6,67 elektronvoltos rezonanciájának teljes szélessége mindössze 0,027 elektronvolt, az élettartam 2,4 szer 10 a mínusz tizennegyediken másodperc. Ez elég hosszú ahhoz, hogy a gerjesztett mag gamma sugárzással szabaduljon meg az energiától, tehát befogási rezonancia. Az oxigén 443 kiloelektronvoltos rezonanciája 41 kiloelektronvolt széles, az élettartam 1,5 szer 10 a mínusz huszonegyediken másodperc, ez főleg neutronkibocsátással bomlik le, tehát szórási rezonancia. Kicsit olyan, mint egy vendég: aki sokáig ül, valószínűbb, hogy eszik is valamit.

Boglárka Molnár

Kis energián a befogási és az exoterm reakciók keresztmetszete a Fermi féle arany szabály alapján egy per v szerint nő, ha a neutron lassul, azaz egy per gyökE arányú. A bór 10 (n, alfa) reakciója a legfontosabb példa: nagyon nagy, szinte tisztán egy per v keresztmetszet lassú neutronokra, ezért a bór a lassú neutronok kedvelt elnyelője. A hősök azonban a nehéz magok: az 1 és 100 elektronvolt közötti tartományban az urán 238 és a tórium 232 keresztmetszetén hatalmas, nagyon éles rezonanciák sorakoznak.

András Szabó

Végül a Doppler hatás, ami a reaktorbiztonság egyik pillére. A célmagok nem állnak: a rácsban a hőmérséklettől függő rezgést végeznek, Maxwell eloszlás szerint. Ezért a laboratóriumi nyaláb látszólag szétkenődik az energiában. A Doppler szélesség Gamma D egyenlő gyök alatt négy E egy k T per A. A csúcs alacsonyabb és szélesebb lesz, de a görbe alatti terület elvileg állandó. Akkor hogyan növekszik a befogás? Mert a fluxus az éles csúcsok energiáján erősen lecsökken, az energiában vett önárnyékolás miatt. A szétterülő szárny viszont olyan energiákra is ráfér, ahol a fluxus magasabb. Így a hőmérséklettel nő az elnyelt neutronok száma.

Boglárka Molnár

A kapus hasonlat ide kiváló. Egy mozdulatlan kapus, nulla kelvinen, csak azokat a labdákat védi, amelyek pontosan a kinyújtott keze ügyébe érkeznek. A labdák nagy része elsuhan mellette. Ha őrülten ugrál és csapkod a forróságtól, a csúcsmagassága csökken, de sokkal szélesebb sávot fed le a kapuból, és megfogja a korábban elsuhanó labdákat is. Ezért nő a befogás a hőmérséklet emelkedésével, ami azonnali negatív reaktivitás visszacsatolás: ha a reaktor túlmelegszik, magától kevesebb neutron éri el a hasadóanyagot. Ezt nevezzük inherens biztonságnak, és ez az egyik legjobb, amit a fizika a mérnököknek ajándékoz.

András Szabó

A második fejezet a hasadás. Az intuíció: egy nehéz mag olyan, mint egy túl nagy vízcsepp, amelyet a felületi feszültség még összetart, de ha elég erősen megütjük, kezd rezegni, kinyúlik, elvékonyodik a közepén, és két csepp lesz belőle. A protonok közötti taszítás segít szétszakítani, a magerők felületi feszültsége viszont visszahúzza. Amikor a taszítás győz, a két rész elválik, és hatalmas energiával repül szét. Ez a Bohr és Wheeler féle cseppmodell.

Boglárka Molnár

A mennyiségi rész: ahhoz, hogy a mag hasadjon, át kell jutnia egy energiagáton. A kritikus energia, E crit egyenlő E q mínusz Q, ahol E q a szétválási pontnál elért Coulomb energia, Q pedig a hasadási reakció Q értéke. Uránra E q körülbelül 218 megaelektronvolt, az átlagos Q 212 megaelektronvolt, így a kritikus energia nagyjából 6 megaelektronvolt. Az ólom 208 esetén ez kb. 20 megaelektronvolt, ezért ott a hasadás gyakorlatilag kizárt. A természetben ezért a hasadás csak a legnehezebb magoknál gyakorlati jelentőségű.

András Szabó

Itt jön a könyv egyik legszebb gondolata, a hasadóképes és a termékeny magok különbsége. Ha egy neutron beleesik a magba, a vegyimag gerjesztési energiája a neutron mozgási energiája plusz a neutron kötési energiája az új magban. A páratlan tömegszámú magoknál, például urán 235, plutónium 239, urán 233, plutónium 241, a párosodási energia miatt ez a kötési energia nagyobb. Az urán 235 plusz neutron az urán 236, amelynek utolsó neutronja 6,4 megaelektronvoltal kötött, a kritikus energia viszont csak 5,3. Vagyis már zérus mozgási energiájú, lassú neutronnal is 1,1 megaelektronvolttal a gát fölött vagyunk, és a hasadás azonnal mehet.

Boglárka Molnár

Az urán 238 másképp viselkedik, mert páros páros mag. Ha befog egy neutront, az urán 239 keletkezik, a kötési energia csak 4,9 megaelektronvolt, a kritikus energia 5,5. Hiányzik kb. 0,6 megaelektronvolt, ezért csak gyors neutron, nagyjából 0,6 és 1 megaelektronvolt feletti energián hasít. A könyv szerint az ilyen magokat hasadóknak, fissionable, a lassú neutronnal is hasadókat pedig hasadóképeseknek, fissile, nevezzük. A természetes uránban az urán 235 aránya 0,713 százalék, az urán 238 99,28 százalék, a tórium 232 pedig száz százaléka a természetes tóriumnak. A három közül csak az urán 235-nek van nagy termikus hasadási keresztmetszete.

András Szabó

A termékeny magok viszont fontosak, mert befogással hasadóképes anyaggá alakíthatók. Az urán 238 befog egy neutront, urán 239 lesz, az 23,5 perc alatt béta bomlással neptúnium 239, az pedig 2,35 nap alatt plutónium 239. A tórium 232 befog egy neutront, tórium 233, az 22 perc alatt protaktínium 233, az 27 nap alatt urán 233 lesz. Ezekben a láncokban a reaktor maga állítja elő a következő üzemanyagot. Ráadásul a plutónium 239 is befoghat még egy neutront, és plutónium 240, majd plutónium 241 keletkezik, ami szintén hasadóképes. A könyv megjegyzi, hogy a plutónium 241 a magas előállítási költség miatt nem lett közvetlen reaktoranyag.

Boglárka Molnár

Mi a hasadványok sorsa? A hasadás zömmel aszimmetrikus: egy könnyebb, kb. 95 és egy nehezebb, kb. 140 tömegszámú magra bomlik. Szimmetrikus hasadás, A körülbelül 118, az urán 235 termikus hasadásánál mindössze 0,01 százalék, azaz húszezer hasadványból egy. A könyv lábjegyzete figyelmeztet: két hasadvány keletkezik egy hasadásban, ezért húszezer, és nem tízezer a szám. Ha a bombázó neutron energiája nő, a völgy a két csúcs között feltöltődik, és a hasadás szimmetrikusabb lesz. A friss hasadványok neutrongazdagok, ezért béta bomlási láncokon mennek végig, például a tellúr 135 jód 135, xenon 135, cézium 135, bárium 135 láncon.

András Szabó

És akkor jön a kérdés, amire mindenki kíváncsi: mennyi energiát ad egy hasadás? A számok: a hasadványok mozgási energiája 168 megaelektronvolt. Ezek erősen ionizált, nagy töltésű magok, a fékezési hosszuk mindössze kb. 10 a mínusz harmadikon centiméter, tíz mikrométer, tehát az energiájuk szó szerint a hasadás helyén, százszázalékosan hővé alakul. A prompt neutronok mozgási energiája kb. 5, a prompt gamma kb. 7, a hasadványok béta bomlása kb. 8, a gamma bomlása kb. 7 megaelektronvolt. A neutrínók kb. 12 megaelektronvoltot visznek, de ezek kölcsönhatás nélkül elhagyják a reaktort, sőt a Földet is, ez a veszteség kb. 6 százalék.

Boglárka Molnár

Van ellenpárja is: a ν neutronból egynek kell új hasadást okoznia, a maradék, nagyjából 1,4 neutron elnyelődik valamilyen más reakcióban, és befogási gamma sugárzást kelt, 3 és 12 megaelektronvolt között. Így a kibocsátott összeg 207 megaelektronvolt, a visszanyerhető 198 és 207 között van, a számításokban 200 megaelektronvoltot használunk, ami 3,204 szer 10 a mínusz tizenegyediken joule hasadásonként. Plutónium 239 esetén ez nagyjából 4 százalékkal több, urán 235-nél kb. 2 százalékkal kevesebb a szokásos átlagnál, de a felbontás hasonló.

András Szabó

Ebből egy gyönyörű, kézzelfogható szabály jön ki. A teljesítmény P wattban egyenlő a hasadások száma másodpercenként szorozva az egy hasadásra jutó energiával, joule ban. A könyv számítása szerint az urán 235-nél 200 megaelektronvolttal számolva egy megawatt teljesítmény egy napon át nagyjából egy gramm urán 235 elhasadását jelenti. Ha beleszámoljuk a befogást is, mert az elnyelések száma az egy plusz alfa szerese a hasadásokénak, és urán 235-re termikusan ez 1,169, akkor a fogyás kb. 1,23 gramm naponta megawattonként. Egy gramm, egy napra, egy megawattra: ez a nukleáris energia tömörségének legjobb jelképe.

Boglárka Molnár

A másik fontos következmény a maradékhő. A hasadványok bomlása a reaktor leállítása után is folytatódik, és hőt termel. A béta sugárzás teljesítménye kb. 1,26 szer t a mínusz 1,2 dik hatványon, a gammáé 1,40 szer t a mínusz 1,2 dik hatványon megaelektronvolt per másodperc egy hasadásra, kb. egy másodperctől 10 a hatodikon másodpercig érvényesen. Az üzemidőre integrált Borst és Wheeler formula: P t T egyenlő 4,10 szer 10 a tizenegyediken szer t a mínusz 0,2 dik mínusz t plusz T a mínusz 0,2 dik megaelektronvolt per másodperc, egy wattos üzemre, ahol T az üzemidő, t a leállás óta eltelt idő, mindkettő másodpercben. Emiatt életbevágó a folyamatos hűtés még leállás után is.

András Szabó

Most a legfontosabb dolog a szabályozás szempontjából: a neutronok két típusa. A prompt neutronok a hasadás pillanatában, kb. 10 a mínusz tizenhetediken másodpercen belül keletkeznek, és ez a hasadási neutronok több mint 99 százaléka. Átlagos energiájuk 1,98 megaelektronvolt, a legvalószínűbb energia 0,73 megaelektronvolt, ezt a Watt spektrum írja le, khi E egyenlő 0,453 szer e a mínusz 1,036 E szer sinh gyök 2,29 E. Az urán 235 prompt neutronszáma 2,420. A neutronok száma hasadásonként ingadozik, nulla és öt között, ezért csak az átlag, a ν számít.

Boglárka Molnár

A késő neutronok a hasadványok béta bomlása után keletkeznek. A példa a bróm 87, amelynek felezési ideje 55,6 másodperc. A bomlás során a kripton 87 gerjesztett állapotba kerül, amely kb. 5,4 megaelektronvolt energiájú, a neutron kötési energiája viszont ott 5,1 megaelektronvolt. A kripton 87 ötvenegy neutront tartalmaz, egyet a mágikus ötven fölött, ezért az a plusz neutron kis, kb. 0,3 megaelektronvoltos mozgási energiával ki tud lépni. A neutron a bróm bomlásának időzítésével jelenik meg, tehát másodperceket késik a hasadáshoz képest. A könyv hat csoportba sorolja a prekurzorokat, féléletidejük a 0,2 másodperctől az 55 másodpercig terjed.

András Szabó

Milyen kicsi a hányaduk? A késő neutronok aránya béta: urán 235-nél 0,00651, azaz 0,65 százalék, plutónium 239-nél 0,00216, az urán 238 gyorshasadásánál 0,0176. Ez nagyon kevés, de mégis ez a reaktor kulcsa. Képzeld el, hogy egy autót vezetsz, amelynek a gázpedálja egy milliszekundum alatt a végsőre ugrik, ha csak egy picit megérinted. Ilyen lenne a reaktor, ha csak prompt neutronok léteznének, mert a neutron élettartama a könyv szerint a rendszertől függően 10 a mínusz harmadiktól 10 a mínusz hetedik másodpercig terjed. A késő neutronok a láncreakciót lelassítják a mérnöki beavatkozás időskálájára.

Boglárka Molnár

Pontosabban: ha a reaktor már a prompt neutronokkal is kritikus lenne, azaz k nagyobb vagy egyenlő egy plusz béta, a teljesítmény robbanásszerűen, ezredmásodpercek alatt elszállna. Ezért a reaktort szigorúan abban a tartományban üzemeltetik, ahol k közel pontosan egy, és a láncreakció tényleges időállandóját a késő neutronok másodperces, perces felezési ideje szabja meg. A szabályozórudak ilyen sebességgel simán be tudnak avatkozni. A részletes dinamikát a könyv egy másik kötetre bízza, a Reaktordinamika és üzemvezetés kötetre, tehát itt maradjunk a lényegnél: a késő neutron adja a reaktor irányíthatóságát.

András Szabó

Zárjuk a fejezetet az éta szám bevezetésével, mert később minden ezen múlik. Az éta azt mutatja meg, hány hasadási neutron keletkezik egy, az üzemanyagban elnyelt neutronra: éta egyenlő ν szer szigma f per szigma a, vagyis ν per egy plusz alfa, ahol alfa a befogás és hasadás aránya, szigma gamma per szigma f. Urán 235-re termikusan alfa 0,169, ν 2,44, éta 2,08. Plutónium 239 éta 2,11, urán 233 éta 2,28. Természetes uránra, ahol az urán 235 aránya 0,007202, a számítás éta 1,355 ad. És fontos: 20 százalék dúsítás felett az éta telít, nincs értelme még magasabbra dúsítani az éta miatt.

Boglárka Molnár

A harmadik rész a láncreakció és a kritikusság. Az intuíció: egy generációs játék. Minden neutron megszületik, bolyong, és végül vagy elnyelődik, vagy kiszökik, vagy egy hasadásnál elnyelődve újakat szül. A sokszorozási tényező, k, egyszerűen a következő nemzedék neutronjainak száma osztva az előzőével. Ha k egy, kritikus, a neutronok száma állandó. Ha kisebb egynél, szubkritikus, a reakció kihal, ha nagyobb, szuperkritikus, nő. A gyakorlatban ezt a termelési és veszteségi ráta hányadosaként használjuk, K egyenlő P t per L t, és a neutronélettartam l egyenlő N t per L t.

András Szabó

Ebből az időfüggés egy egyszerű differenciálegyenlet: dN per dt egyenlő k mínusz egy per l szer N. A megoldás N t egyenlő N nulla szer e a k mínusz egy per l szer t hatványon. Külső forrás nélkül tehát a k mínusz egy előjele dönt mindenről: a mínuszos exponens lecsengés, a nulla állandó, a pozitív exponenciális növekedés. A k mínusz egy értéke a többletreaktivitás. A könyv hangsúlyozza, hogy ez a késő neutronok nélküli kép, a valódi viselkedés finomabb, de a lényeg ez: a neutronszám exponenciálisan viselkedik, az időállandó pedig az l per k mínusz egy.

Boglárka Molnár

Külső forrással, tehát indításnál, az egyenlet kiegészül egy forrástaggal: dN per dt egyenlő k mínusz egy per l szer N plusz S. Ha a rendszer kritikus, a neutronszám lineárisan nő, N t egyenlő S t plusz N nulla. Szubkritikusnál az egyensúlyi érték N aszimptotikus egyenlő l per egy mínusz k szer S. Ahogy k közelít az egyhez, a nevező nullához tart, a neutronsűrűség divergál. A könyv példája: egy kritikus reaktorba tegyünk 10 a nyolcadikon neutron per másodperc forrást. Ahhoz, hogy 10 a tizenötödikig jusson a neutronok száma, 10 a tizenötödik per 10 a nyolcadik másodperc kell, ez 3,8 hónap. Ezért a valóságban szuperkritikussá teszik a reaktort, és az exponenciális növekedéssel pár óra alatt eléri a névleges teljesítményt, aztán visszaáll k egyre.

András Szabó

Itt jön a leggyönyörűbb mérési módszer, az inverz sokszorozásos technika. Mikor új reaktort töltünk, nem akarjuk véletlenül túlfutni a kritikus pontot. A számlálási sebesség C egyenlő eta l S per egy mínusz k eff, ahol eta a detektor hatásfoka. Üres rendszernél k eff nulla, a kezdeti érték C nulla egyenlő eta l S. Innen egy per C egyenlő egy per C nulla szer egy mínusz k eff. Vagyis a reciprok számlálási sebesség lineárisan csökken az üzemanyag mennyiségével. Rajzold fel a mért egy per C értékeket a betöltött üzemanyag függvényében, húzz egyenest, és ott, ahol az egyenes metszi a tengelyt, az egy per C nulla, ott van a kritikus tömeg. Anélkül, hogy odaérnénk.

Boglárka Molnár

A könyv figyelmeztet: az első lépéseknél a fluxus térbeli alakja még a forrás elhelyezésétől és a detektor helyétől függ, ezért a valódi mérési pontok nem pontosan egyenesek, és több, különböző helyen lévő detektort használnak. A módszer akkor igazán megbízható, ha az eloszlás már az alapmódushoz közelít. A kritikus kísérleti berendezések, a kritikus assembly, ilyen kísérletekre épülnek: kis teljesítményen, nagyon kevés hasadvány felhalmozódással, árnyékolás nélkül, könnyen változtatható geometriával, hogy a későbbi reaktor magfizikai jellemzőit a megépítés előtt megmérjék.

András Szabó

Most a négytényezős formula, a legfontosabb kép a reaktorfizikában. Végtelen, egyenletes rendszerben nincs szivárgás. Egy hasadási neutron első dolga, hogy lelassuljon, közben egy kis részét elnyeli a rezonanciaelnyelés, a többi eléri a termikus tartományt. Aztán a termikus neutron elnyelődik, de lehet, hogy a moderátorban vagy a szerkezetben, nem az üzemanyagban. Végül az üzemanyagban elnyelt neutron hasadást okoz, több új neutront szül. A tényezők: epszilon a gyorshasadási tényező, p a rezonancia túlélési valószínűség, f a termikus hasznosítási tényező, éta a reprodukciós tényező. k végtelen egyenlő epszilon szer p szer f szer éta.

Boglárka Molnár

Nézzük mindegyiket. Az epszilon azt mondja meg, hogy a termikus és gyors neutronok által kiváltott összes hasadási neutron hányszorosa a termikus neutronok okozta hasadási neutronoknak, értéke termikus reaktorokban 1,03 és 1,15 között van. A p az a hányad, amelyik rezonancia elnyelés nélkül lelassul. Az f egyenlő a termikus elnyelés az üzemanyagban osztva a teljes termikus elnyeléssel a rendszerben, f egyenlő Szigma a üzemanyag per Szigma a összes. Az éta pedig az üzemanyagban elnyelt termikus neutronra jutó hasadási neutronszám, éta egyenlő ν szer szigma f per szigma a. Az f a hatékonyság mérőszáma, mennyire használja az üzemanyag a neutronokat.

András Szabó

Véges reaktornál a neutronok egy része kiszökik, ezért jön a hatténytényezős formula: k eff egyenlő k végtelen szer P gyors szivárgásmentes szer P termikus szivárgásmentes. A könyv szemléltető példája: éta 1,65, f 0,71, epszilon 1,02, p 0,87, a gyors szivárgásmentességi valószínűség 0,97, a termikus 0,99. Ebből k végtelen 1,04, k eff pedig 1,00. Fontos megjegyzés: ezek a számok be vannak állítva úgy, hogy kritikusak legyenek, nem valódi reaktor adatai. És azt is hangsúlyozza a könyv, hogy a tényezők pontos kiszámításához a transzportegyenlet vagy mérés kell, a formula inkább a mechanizmus megértésére és közelítő tervezésre jó.

Boglárka Molnár

Hogyan lehet kritikussá tenni egy rendszert? Két alapvető út van. Az egyik a méret: a szivárgás arányos a felület per térfogat hányadossal, ami egy gömbnél egy per R, tehát növelve a sugarat a szivárgás csökken, a hasadások száma nő, és egy kritikus sugárnál egyensúly lesz. A másik az anyagjellemzők: például egy tartályban lévő víz urán sóoldattal, ahol az urán koncentrációját növeljük, amíg önfenntartó nem lesz a reakció. A gyakorlatban a kettőt vegyítik. Fontos a visszaverő réteg is, de ezt később, a diffúziós résznél tárgyaljuk. A tipikus könnyűvizes reaktorok friss töltetében a k kb. 1,25, mert háromféle többlet kell.

András Szabó

Háromféle többlet. Az első az üzemanyag elfogyasztása: egy évig ciklusonként kell elég tartalék. A második, hogy a sokszorozási tényező a teljesítménnyel és a hőmérséklettel csökken, ezt ellensúlyozni kell. A harmadik, hogy teljesítményváltoztatáshoz, felemeléshez, átmenetileg k kicsit nagyobb kell legyen egynél. A többletet erős elnyelő anyag, szabályozórúd viszi el, ami a hatméretű formulában az f értékét csökkenti. Szóval a szabályozás tulajdonképpen az f tényező mozgatása. Ezen a ponton érdemes megállni és megérteni, mennyire elegáns ez: a reaktort egy kisebb tényező finom beállításával vezérlik.

Boglárka Molnár

Végül a konverzió és szaporítás. A konverziós arány CR egyenlő az újonnan képződött hasadóképes atomok átlagos száma osztva az elhasznált hasadóképes atomok számával. Ha CR nagyobb egynél, szaporításról beszélünk, és BR a neve. A könnyűvizes reaktoroknál CR kb. 0,6, a fejlettebb konverter reaktoroknál, például a magas hőmérsékletű gázhűtésűeknél, kb. 0,8. Egy LWR friss töltete kb. 3 százalék urán 235 és 97 százalék urán 238, egy ciklus után, ami jellemzően három év, kb. 1 százalék urán 235 és kb. 1 százalék plutónium 239 van a magban. Ez a plutónium értékes üzemanyag.

András Szabó

És a szaporításnak a feltétele, hogy éta nagyobb legyen kettőnél. Miért kettő? Az egyik neutronnal fenntartjuk a láncreakciót, a másikkal pótoljuk az elhasznált hasadóanyagot új hasadóanyag előállításával, és még kell némi margó a veszteségekre. Gyors spektrumban a plutónium 239 éta értéke gyorsan eléri a 2,5 és 3 közötti szintet, ezért gyors szaporító reaktor, fast breeder reaktor. Termikus spektrumban egyedül az urán 233 éta értéke nagyobb 2,2 nél, ezért ott a tórium urán ciklusban lehetséges a szaporítás. Ezzel zárul az a rész, ami a reaktor globális mérlegéről szól, jöhet a tér: hol mennyi neutron van.

Boglárka Molnár

Negyedik rész: a térbeli eloszlás, a neutrondiffúzió. Most az Euler féle szemlélet jön, a kereszteződés számolása. A diffúziós elmélet a transzportegyenlet egyszerűsítése, amelyben a neutronok egy sebességgel, egy energián mozognak, a térben pedig csak a fluxus és az áram számít. Elöl a fluxus, phi egyenlő n szer v, amit már a méhes szobával megismertünk. A neutronáram sűrűsége J vektor, amely az irányított áramlást adja, egysége neutron per négyzetcentiméter per másodperc. Az x irányú összetevő J x egyenlő az összes irány feletti integrál, n szer v szer koszinusz théta, tehát az egyik irányba mozgók és a másik irányba mozgók különbsége.

András Szabó

Ide jön a parfüm hasonlat. Kinyitod a parfümöt a szoba sarkában. A molekulák nem tudják, hova menjenek, véletlenszerűen lökdösik egymást. De mivel a sűrűbb oldalon többen ütköznek, a statisztika miatt több részecske lökődik a ritkább térfél felé, mint vissza. A nettó áram arányos a sűrűségcsökkenés meredekségével: J egyenlő mínusz D szer grad phi. Ez a Fick törvény. A D a diffúziós együttható, D egyenlő Szigma s per három Szigma t négyzet, amely közelítőleg egy per három Szigma transzport, lambda transzport per három. A transzport keresztmetszet figyelembe veszi a szórás előre irányultságát: Szigma tr egyenlő Szigma s szer egy mínusz mű átlag, ahol a mű átlag a szórási szög koszinuszának várható értéke.

Boglárka Molnár

A könyv levezeti a törvényt, részáramokkal: J plusz egyenlő phi per négy mínusz D per kettő szer d phi dz, J mínusz egyenlő phi per négy plusz D per kettő szer d phi dz, a különbségük a nettó áram, mínusz D szer d phi dz. És pontosan megmondja, mikor érvényes a Fick törvény. Öt feltétel: végtelen vagy a határoktól távoli közeg, azaz legalább két három szabad úthossz a felülettől. Homogén közeg, bár a szórási keresztmetszet lassú változását a transzmissziós valószínűség kiegyenlíti. Távol a pontszerű forrástól, mert a forrás közvetlen neutronjai még anizotrópak. Izotróp szórás a laboratóriumi rendszerben, vagy transzportkorrekció. És végül gyengén elnyelő közeg, Szigma a sokkal kisebb mint Szigma s, lassan változó fluxussal. Erős elnyelőknél, például egy szabályozórúd peremén, a törvény érvényét veszti.

András Szabó

A folytonossági egyenlet egyszerűen mérleg: a neutronok száma egy térfogatban a forrás mínusz az elnyelés mínusz a nettó kiáramlás. Az egyenlet: d n per d t egyenlő s mínusz Szigma a szer phi mínusz divergencia J. Ha ebbe behelyettesítjük a Fick törvényt, megkapjuk a diffúziós egyenletet: D szer Laplace phi mínusz Szigma a szer phi plusz s egyenlő nulla, stacionárius esetben. Osztva D vel: Laplace phi mínusz egy per L négyzet szer phi egyenlő mínusz s per D, ahol L egyenlő gyök D per Szigma a, a diffúziós hossz.

Boglárka Molnár

A határfeltételekből négy kell. Az első a vákuum határ, ahol a reaktorból kilépő neutronok nem térnek vissza. A felületen a diffúziós közelítés romlik, de a belső fluxus jól becsülhető egy trükkel: a fluxust lineárisan extrapoláljuk a felületen túlra, és a d extrapolációs távolságnál vesszük nullának. d egyenlő 0,71 szer lambda transzport, ami nagyjából két D. A második a tükör vagy szimmetria feltétel, szimmetriasíkon nincs nettó áram, d phi per d n egyenlő nulla. A harmadik az anyagok határán: a fluxus és a normális irányú áram folytonos, phi A egyenlő phi B és D A szer d phi A egyenlő D B szer d phi B. A negyedik: a fluxus sehol sem lehet negatív vagy végtelen.

András Szabó

Néhány zárt alakú megoldás, amelyből sokat lehet tanulni. Végtelen síkforrás végtelen közegben: phi x egyenlő S L per két D szer e a mínusz abszolút x per L hatványon. Pontforrás: phi r egyenlő S per négy pi D r szer e a mínusz r per L hatványon. Vonalforrásnál a megoldás S per két pi D szer K nulla r per L, ahol K nulla a másodfajú módosított Bessel függvény. Véges rétegnél a megoldás S L per két D szer sinh függvény osztva cosh függvény, a vastagságba beleszámítva az extrapolációs távolságot is. A szabály: végtelen közegben exponenciális lecsengés, véges közegben hiperbolikus függvények, mert a sinh zérushelyet tud felvenni a határon.

Boglárka Molnár

A diffúziós hossz fizikai jelentése nagyon szép. L négyzet egyenlő a hatod szer az átlagos négyzetes egyenesvonalú távolság a neutron születési és elnyelődési helye között: L négyzet egyenlő egy per hat szer r négyzet átlag. Vagyis a diffúziós terület a bolyongás kiterjedését méri. A táblázat szerint vízben a protonok nagy befogása miatt L 2,85 centiméter, rövid. Berilliumban 21 centiméter, grafitban 59 centiméter, nehézvízben pedig 170 centiméter. A nehézvíz és a grafit alig nyel el, ezért a neutron messzire jut, mielőtt eltűnne.

András Szabó

Most jön a reaktor. Ha a forrás maga a hasadás, a forrás s egyenlő ν Szigma f szer phi. A stacionárius egyenlet: D szer Laplace phi mínusz Szigma a szer phi plusz ν Szigma f szer phi egyenlő nulla, ami átalakítva Laplace phi plusz B négyzet szer phi egyenlő nulla. Itt a B négyzet egyenlő ν Szigma f mínusz Szigma a per D, ami egyenlő k végtelen mínusz egy per L négyzet. Ez az anyagi kihajlás, material buckling. Azért hívjuk kihajlásnak, mert a fluxus térbeli görbületét méri: a reaktor anyaga által megkövetelt, mennyire kell a fluxusnak a közepén kidudorodnia, hogy a szélén nullára essen. Kizárólag az anyagoktól függ, a mérettől nem.

Boglárka Molnár

A geometriai kihajlás, B g négyzet, a Helmholtz egyenlet legkisebb sajátértéke, amely kielégíti a nulla peremfeltételt az extrapolált felületen. Ez kizárólag a mag alakjától és méretétől függ: kis reaktornál nagy, ami nagy szivárgást jelent. A kritikusság alaptörvénye csupasz reaktorban: B g négyzet egyenlő B m négyzet, ami ekvivalens azzal, hogy k eff egyenlő k végtelen per egy plusz B g négyzet szer L négyzet egyenlő egy. Ha a geometriai kihajlás nagyobb az anyagiánál, szubkritikus, mert a szivárgás meghaladja a sokszorozást. Ha egyenlő, kritikus. Ha kisebb, szuperkritikus.

András Szabó

Ez a törvény egyben hozza a legfontosabb megállapítást is: a sajátérték egyenlet homogén, ezért a fluxus amplitúdóját nem határozza meg. Bármilyen amplitúdó megoldás. Az amplitúdót a teljesítmény rögzíti: P egyenlő E R szer integrál Szigma f szer phi dV, ahol E R körülbelül 200 megaelektronvolt, 3,204 szer 10 a mínusz tizenegyediken joule hasadásonként. Szóval a reaktor úgy működik, hogy az alak és a kritikusság az anyag és a geometria dolga, a nagyság pedig a teljesítményé. Ez valójában filozófiai kérdés is: a forma, amit a mag szab meg, és az intenzitás, amit mi kérünk.

Boglárka Molnár

A geometriák. Végtelen síklap, vastagság a: B g négyzet egyenlő pi per a négyzete, a fluxus A szer koszinusz pi x per a, csúcsossági tényező Omega egyenlő a maximum fluxus per az átlagos fluxus, ami pi per kettő, kb. 1,57. Gömb, sugár R: B g négyzet egyenlő pi per R négyzete, fluxus A szer sin pi r per R osztva r, Omega egyenlő pi négyzet per három, 3,29. Végtelen henger: B g egyenlő 2,405 per R, ahol 2,405 a nulladrendű Bessel függvény első zérushelye, fluxus A szer J nulla 2,405 r per R, Omega kb. 2,32. Véges henger, sugár R, magasság H: B g négyzet egyenlő 2,405 per R négyzete plusz pi per H négyzete, Omega kb. 3,64. Téglatest: pi per a négyzete plusz pi per b négyzete plusz pi per c négyzete, kockánál három pi per a négyzet, Omega pi köb per nyolc, kb. 3,88.

András Szabó

Érdekes kérdés, melyik alakzat a leggazdaságosabb. Ha a fix anyagösszetétel, azaz a B m adott, a legkisebb kritikus térfogat gömbnél 130 per B m köb, hengernél 148 per B m köb, kockánál 161 per B m köb. A legjobb henger magasság és sugár aránya H per R egyenlő gyök kettő pi per 2,405, kb. 1,85. A sorrend: gömb kisebb, mint henger, kisebb mint kocka. Ugyanakkora térfogatnál a felületek aránya gömb, henger, kocka 4,8, 5,5, 6,0. A kisebb felület kisebb szivárgást jelent, tehát a gömbhöz kell a legkevesebb üzemanyag. A könyv megjegyzi, hogy a valódi reaktorok H per R aránya például egy nyomottvizes blokknál kb. 2,2, egy forralóvizesnél 1,5.

Boglárka Molnár

Egy csúcsossági tényező, Omega, a tervezőknek fontos, mert a legnagyobb helyi teljesítménysűrűséget a hőtechnikai korlátok szabják meg, és ennek az átlaghoz viszonyított aránya határozza meg az elérhető átlagteljesítményt. Minél laposabb a fluxus, annál jobban használjuk ki az üzemanyagot. Most kell beszélni a reflektorról, ami ezt javítja. Ha a magot nem hasadóképes, szóró anyag veszi körül, például víz, a kiszivárgó neutronok egy része visszatér. Előny: csökken a kritikus méret és tömeg, és a zóna peremén megemelkedik a fluxus, a teljesítményeloszlás kiegyenlítettebb lesz.

András Szabó

A hatást a reflektormegtakarítás méri, delta egyenlő R nulla mínusz R, a csupasz és a reflektoros reaktor kritikus sugarának különbsége. Végtelenül vastag reflektornál közelítőleg delta egyenlő D mag per D reflektor szer L reflektor. Egyszerűsített esetben, amikor a mag és a reflektor diffúziós együtthatója ugyanaz, a gömbre a kritikus sugár R egyenlő egy per B szer arkusz tangens mínusz B L r. Ez a kiszámítható eset, de általában a feltétel B R szer kotangens B R mínusz egy egyenlő mínusz D r per D c szer R per L r plusz egy, egy transzcendens egyenlet, amelyet grafikusan vagy számítógéppel oldunk meg. A megoldás B R kisebb pi, mert reflektorral kisebb sugár is elég, mint a csupasz gömb R nulla egyenlő pi per B.

Boglárka Molnár

És most azt, amiért egycsoportos elmélet nem elég a könnyűvizes reaktorokhoz. A vízben a gyors neutronok lassulási távolsága, a Fermi kor, tau, kb. 27 négyzetcentiméter, sokkal nagyobb, mint a termikus neutronok diffúziós területe, ami a zónában kb. 2,67 négyzetcentiméter. A hasadásból származó gyors neutronok akadálytalanul kiszivárognak a reflektorba, ott lefékeződnek termikussá, és mivel a tiszta víz alig nyeli el őket, hatalmas termikus fluxuscsúcs alakul ki a reflektorban. Az egycsoportos elmélet egyetlen energián kezeli a neutronokat, ezért ezt a csúcsot nem tudja megjósolni. Ehhez legalább két energiacsoport kell.

András Szabó

Ezt a következő fejezetben, a moderációnál, mélyebben megtárgyaljuk. Itt még egy szemléletet hagyok: a kritikus kísérletek tervezésénél mindig az egycsoportos B m és B g összehasonlítása a kiindulópont. Aztán jön a számítógép, ami iteratív kritikusságkeresést csinál, mert a valódi, nem egyenletes reaktor nem oldható meg zárt alakban. Érdemes megérteni, hogy a modell mindig a valósághoz képest fogalmaz: mi azért tanuljuk a zárt képleteket, hogy tudjuk, mit kell kapnunk az iterációkból. A diffúziós elmélet bevezetett négy alapfogalmat: a fluxust, az áramot, a diffúziós hosszt és a kihajlást, és ezek a következő rész alapkövei is.

Boglárka Molnár

Az ötödik rész a neutronlassítás, a moderáció, és a rezonanciaelnyelés. Az intuíció: a hasadási neutron átlagosan 2 megaelektronvolt energiával születik, de a hasadáshoz a 0,025 elektronvoltos termikus tartomány kell. A neutronok lassulása egy vízeséses folyóhoz hasonlít a magashegységből a tenger felé: a 2 megaelektronvoltos hasadási magasságtól a 0,025 elektronvoltos termikus tenger szintjéig. A folyó vízhozama egy adott magassági szinten a lassulási sűrűség, q E, amely azt mutatja, hány neutron halad át másodpercenként egységnyi térfogatban az adott energián. Ha nincs elnyelés, a vízhozam felülről lefelé állandó, q egyenlő S.

András Szabó

A lassulás motorja a rugalmas szórás. Az ütközés a tömegközépponti rendszerben izotróp. A neutron minimális energiája egy ütközés után, frontális ütközésnél: E egy minimum egyenlő alfa szer E nulla, ahol alfa egyenlő A mínusz egy per A plusz egy négyzete. A hidrogénnél, A egyenlő egy, alfa nulla, vagyis egyetlen ütközésben az összes mozgási energia átadható. Az urán 238 magnál alfa nagyjából 0,983, tehát ütközésenként legfeljebb az energia kb. 1,7 százalékát veszítheti el. A biliárdhasonlat: ha a golyó pontosan egyforma tömegű golyónak ütközik telitalálattal, állva marad és mindent átad. Ha viszont a pálya szélén lévő masszív gumipalánknak vagy egy ólomtömbnek ütközik, szinte veszteség nélkül pattan vissza.

Boglárka Molnár

A szórás utáni energiaeloszlás egyenletes az alfa E nulla és E nulla közötti sávban: P E nulla E egyenlő egy per egy mínusz alfa szer E nulla. Mivel a neutron energiája hét nagyságrendet fut be, bevezetjük a letargiát: u egyenlő ln E s per E, ahol E s tipikusan 10 megaelektronvolt. Ahogy az energia csökken, a letargia nő. Az egy ütközésre jutó átlagos letargianövekedés xi egyenlő egy plusz alfa per egy mínusz alfa szer ln alfa, ami nagy A esetén közelítőleg két per három A. Hidrogénre pontosan 1,0, szénre 0,158. Mivel ez a növekedés független az energiától, a szükséges ütközések száma egyszerűen az összes letargianövekedés osztva xi vel.

András Szabó

Számoljuk: a neutron lassulása 2 megaelektronvoltról 1 elektronvoltra természetes logaritmus 2 millió, ami 14,5. Tehát az ütközésszám m egyenlő 14,5 per xi. Hidrogénben átlagosan kb. 18 ütközés elég, grafitban kb. 114, uránban viszont több mint 2100 ütközés kellene. Ez magyarázza, hogy miért könnyű anyagot használunk lassítóként. Persze a moderátor nem csak a lassításról szól, el is nyelheti a neutront. Ezért két mérőszám van. A fékező képesség, xi szer Szigma s, a lassítás sebessége. A fékezési jósági tényező, xi szer Szigma s per Szigma a, a lassítás hatékonysága a parazita elnyelődéshez képest.

Boglárka Molnár

A könyv táblázata szerint: könnyűvíz fékező képessége 1,375 per centiméter, jósági tényezője mindössze 62, a hidrogén termikus neutronbefogása miatt. Nehézvíz fékező képessége 0,179 per centiméter, de a jósági tényezője 5830, a világ legjobb moderátora, minimális elnyeléssel. Berillium 128, grafit 232, berillium oxid 169. A történelmi következmény: a nehézvíz és a grafit magas jósága tette lehetővé a természetes uránnal működő reaktorok megépítését, mint a Fermi féle Chicago Pile One, a Calder Hall vagy a CANDU. A könnyűvíz alacsony jósága miatt az LWR eknél elengedhetetlen az urán dúsítása, legalább 3 és 5 százalék közötti urán 235 tartalomra.

András Szabó

Végtelen, nem elnyelő közegben, S neutron per köbcentiméter per másodperc forrással a lassulási sűrűség állandó, q egyenlő S. A hidrogénre ezt pontosan le lehet vezetni az ütközési sűrűségből, F E egyenlő S per E. Nehezebb magoknál az első néhány ütközés közelében az eloszlás szakaszos, hullámzó, de a forrás energiájától távol a megoldás ugyanaz. Az eredmény a híres egy per E spektrum: phi E egyenlő S per xi szer Szigma s szer E. Az energia fordítottan arányos a fluxussal, mert ugyanannyi neutron halad át minden letargiasávon, a lassuló neutronok viszont kisebb sebességgel és sűrűbben haladnak. Ezt használjuk az energiatartományok csoportállandóinak első közelítésére.

Boglárka Molnár

Ha több magfajta van a keverékben, az átlagos letargianövekedés a szórási keresztmetszettel súlyozott átlag: xi átlag egyenlő összeg xi i szer Szigma s i per Szigma s. A spektrum akkor is egy per E marad. Elnyeléssel viszont a q csökken. A hidrogénben mixelt nehéz elnyelő esetén a rezonanciaelnyelés valószínűségi mérlege: p E egyenlő e a mínusz integrál Szigma a per Szigma t szer d E per E hatványon. Ez a rezonancia túlélési valószínűség, p. A Wigner közelítéssel, q egyenlő xi szer Szigma t szer phi, a lassulási sűrűség csökkenése egyenlő az elnyelési rátával, ami egy exponenciális mérleget ad.

András Szabó

A rezonanciák problémája: az urán 238 és a tórium 232 az 1 és 100 elektronvolt tartományban hatalmas befogási rezonanciacsúcsokkal rendelkezik. Az urán 238 legalsó rezonanciája 6,67 elektronvoltnál eléri a 20 000 barn magasságot, miközben a természetes szélessége, Gamma, mindössze 0,027 elektronvolt. Ha a neutron itt elnyelődik, nem éri el a termikus tartományt, és a láncreakció leáll. A gyakorlati szélesség, Gamma P, az energiatartomány, ahol a rezonanciás keresztmetszet nagyobb a potenciálszórásénál, Gamma P egyenlő gyök Szigma nulla per Szigma p szer Gamma, ami a 6,67 elektronvoltos rezonanciára Gamma P kb. 30 szer Gamma, azaz körülbelül 0,7 elektronvolt.

Boglárka Molnár

A rezonanciacsúcs kezelésére két közelítés van. A keskeny rezonancia, NR közelítés: ha a neutron átlagos energiavesztesége ütközésenként a moderátorban és az elnyelőben is sokkal nagyobb a gyakorlati szélességnél, a neutron egyetlen ugrással átugorja a rezonanciát, a fluxus az egy per E alakot követi, és a rezonanciaintegrál I egyenlő integrál d E per E szer szigma gamma szer Szigma s moderátor plusz Szigma p elnyelő per Szigma t. Ez a nagy energiájú rezonanciákra jó. Az alacsony energiájúakra, mint a 6,67 elektronvoltos, a gyakorlati szélesség nagyobb az energiaveszteségnél, ott az elnyelő magot végtelen nehéznek tekintjük, ez a széles rezonancia vagy NRIM közelítés, és az elnyelő szórása nem veszít energiát.

András Szabó

Most a legszebb következmény, ami a reaktorépítést megalapozta: a heterogenitás. Ha az uránt és a moderátort homogénen összekevernénk, végtelen hígítással, az urán 238 effektív rezonanciaintegrálja kb. 280 barn. A rezonanciás elnyelés olyan erős lenne, hogy a természetes urán soha nem érhetné el a kritikusságot. Ha viszont az üzemanyagot külön rudakba, tablettákba tömörítjük, fellép a térbeli önárnyékolás. A felszíni uránatomok azonnal elnyelik a rezonancia energiájú neutronokat, így a belső atomokhoz már nem jut belőlük, ők árnyékban maradnak. Az effektív rezonanciaintegrál így kb. 280 barnról kb. 9 barnra csökken.

Boglárka Molnár

Az analógia: ezer ember egy réten. Ha egyenletesen szétszórjuk őket, a felettük elhúzó szúnyograj mindegyiket megcsípi. Ha szoros, zárt tömbbé tömörítjük őket, a szúnyogok csak a legkülső sorban állókat érik el, a tömb belsejében állók védve maradnak. Így a hasadásra szánt neutronok átjutnak a veszélyes zónán anélkül, hogy az urán 238 tömegesen elnyelné őket. Ez drámaian megnöveli a p értékét, és a könyv szerint ez volt a Fermi féle reaktortervezés egyik legzseniálisabb felismerése, ami lehetővé tette a természetes uránnal működő reaktorokat. Ugyanez a magyarázata annak, hogy a műszaki gyakorlatban rúd vagy tabletta alakú üzemanyagot használunk.

András Szabó

A rezonancia túlélési valószínűség a végtelen hígításnál p végtelen egyenlő e a mínusz pi N A szigma nulla Gamma gamma per két N H szigma s H E nulla hatványon. Három tanulság. Először, minél több a moderátor, annál nagyobb p, tehát ha a reaktor felmelegszik és a hűtő sűrűsége csökken, p csökken, a reaktivitás is, ami negatív visszacsatolás. Másodszor, minél kisebb a rezonanciaenergia, annál rosszabb p, mert az ütközési sűrűség egy per E szerint nő lefelé. Ezért az urán 238 6,67 elektronvoltos rezonanciája a legfontosabb. Harmadszor, a végtelen hígításnál a p nem függ a hőmérséklettől, mert a fluxus nem sérül. Véges hígításnál a Doppler kiszélesedés miatt viszont a kiszélesedés növeli a rezonanciaelnyelést.

Boglárka Molnár

Most vegyük elő az eddigieket, és építsük össze a kétcsoportos elméletet. Két csoportot használunk: a gyors csoport a hasadási neutronok forrása, a lassulás itt fiktív elnyelésnek számít, Szigma egy egyenlő Szigma a egy plusz Szigma s egyből kettőbe. A termikus csoport forrása a lassuló neutron. A kritikussági feltétel k eff egyenlő k végtelen szer egy per egy plusz L egy négyzet B négyzet szer egy per egy plusz L kettő négyzet B négyzet egyenlő egy. Itt L egy négyzet a Fermi kor, tau. Módosított egycsoportos elmélettel: k eff egyenlő k végtelen per egy plusz M négyzet B g négyzet, ahol az M négyzet, a migrációs terület, egyenlő tau plusz L négyzet. A kétféle közelítés alig különbözik, mert B g négyzet tipikusan 10 a mínusz kettő és 10 a mínusz négy között van.

András Szabó

Gyakorlati példa a könyvből: egy víz moderált, víz reflektorú, urán 235 üzemanyagú gömb. Az urán 235 atomok és a vízmolekulák aránya 1 per 500, a reflektor végtelen vastag. A zónában a Fermi kor kb. 27 négyzetcentiméter, a termikus diffúziós együttható 0,16 centiméter. A számított k végtelen 1,390. A kritikus sugár a kétcsoportos transzcendens egyenletből kb. 21,9 centiméter. A víz tömege a zónában 44 kilogramm, így az urán 235 kritikus tömege 1,15 kilogramm. És az eredmény: a gyors fluxus a zónában nagyobb, mint a termikus, kb. 1,5 szeres arányban, és a reflektorban kis termikus csúcs alakul ki, mert a kiszökő gyors neutronok ott lassulnak le, és a tiszta víz alig nyeli el őket. Ez az, amit az egycsoportos elmélet nem lát.

Boglárka Molnár

Összefoglalva az egész kurzust, a lényeg egyetlen láncban: a neutron gyorsan születik a hasadásban, lassul a moderátorban, miközben a rezonanciákban az urán 238 elnyelheti, majd termikusan hasadást okoz, és közben a szivárgás és az elnyelés versenyez a sokszorozással. A négy és a hat tényező a neutron életrajza, a diffúzió és a kihajlás pedig a tér. A Doppler hatás, a késő neutronok és a heterogén rács gondoskodnak arról, hogy a rendszer biztonságosan irányítható legyen. Ha ezek az összefüggések a fejedben vannak, akkor a reaktorfizika kulcsait birtokolod. Köszönjük, hogy végigjártátok velünk ezt a hosszú utat.

András Szabó

Befejezésül egy gondolat: a természet itt tulajdonképpen egyensúlyt kényszerít ránk. Egy kicsivel több és a reaktor elszalad, egy kicsivel kevesebb és kialszik, de a Doppler hatás és a késő neutronok olyan visszacsatolást adnak, amely a szélsőségekből visszahúz. A kritikus állapot nem pont, hanem finom egyensúly. Köszönjük, hogy meghallgattatok, és ha a könyvet kézbe vennétek, a fejezetek számozását követve minden itt elhangzott képlet megvan benne.